В съответствие с Постановлението на Министерския съвет на СССР от 27 октомври 1960 г. започва развитието на военната система за ПВО 9K33 „Оса“(по -ранното име е „Елипсоид“). За първи път задачата беше да се разработи автономен комплекс с поставяне на едно самоходно плаващо шаси (бойна машина) както на всички бойни средства, включително радарни станции и стартер с ракети, така и на комуникации, навигация и топография, контрол, както и захранвания.
Блестящите успехи, постигнати у нас в края на петдесетте години в областта на създаването (главно под ръководството на В. А. Грачев) на колесни високопроходими превозни средства, определиха избора като прототип на шасито за системата за ПВО "Оса" на един от образците на амфибийни бронетранспортьори, разработени за мотострелкови единици от няколко конструкторски бюра на конкурентна основа в края на петдесетте - началото на шестдесетте.
Още през януари 1961 г. конструкторското бюро на завода ZiL отказа да продължи да участва в работата по ракетната система за противовъздушна отбрана Osa, тъй като товароносимостта на разработеното от него шаси ZiL -153 - 1, 8 тона очевидно беше недостатъчно, за да побере пускови установки с ракети и системи на комплекса. По същата причина победителят в състезанието за бронетранспортьори, БТР-60П на автомобилния завод в Горки, не излезе. През следващите няколко години се работи по отношение на колесното шаси Object 1040, създадено на базата на експериментален бронетранспортьор Object 1015, разработен от конструкторите на Кутаиския автомобилен завод (KAZ) на Икономическия съвет на Грузия SSR в сътрудничество със специалисти от Военната академия на бронираните сили.
Тъй като според проекта бронетранспортьорът на завода в Кутаиси имаше товароносимост само 3,5 тона, за да се побере комплексът с маса най-малко 4,3 тона, беше решено да се изключи картечницата и преминават към използването на лек дизелов двигател с мощност 180 к.с. вместо 220 к.с. подобен двигател, използван в прототипа. Беше разгледано и шасито на колелата на завода в Митищи ММЗ-560, но използването му беше свързано с неприемливо увеличаване на масата на комплекса до 19 тона.
През 1966 г. отделът на главния конструктор на Брянския автомобилен завод, съвместно с Изследователския електромеханичен институт (NIEMI, Москва), започва да създава семейство от специални плаващи шасита БАЗ-5937, -5938 и 5939 за зенитни самолети Оса ракетна система, оборудвана с водно оръдие, което им позволява да се движат по вода, мощен задвижващ дизелов двигател, навигационни средства, топография, поддържане на живота, комуникации и захранване на комплекса (от газотурбинния блок и от захранването- изключен генератор на двигателя на витлото). През 1971 г. започва масовото им производство, а самият комплекс е пуснат в експлоатация. Производството на шасита БАЗ-5937 и БАЗ-5939 продължава до 1990 г. "Оса" е доставена в 25 страни по света, а във въоръжените сили на Русия се използва и до днес.
Моделите "5937" и "5939" с подреждане на колелата 6х6 имат водоустойчив стоманен корпус, в носа на който има контролна кабина, в средата - товарното отделение, а в кърмата - отделението на двигателя. Изискваната скорост на плаване се поддържа от два витла с водна струя. Почти равномерното подреждане на осите по дължината на машината увеличава геометричната проходимост и дава оптимално разпределение на теглото върху колелата. Колелата на външните оси са управляеми, което намалява радиуса на завиване и намалява съпротивлението на движение в него.
Колата получи шестцилиндров дизелов двигател с мощност 300 конски сили 5D20B-300B. Ръчната трансмисия предава силата на двигателя към разпределителната кутия, оборудвана с вграден диференциал, който разделя задвижванията от десния борд и от страната на порта. Окачване на колелата - независимо, торсионно окачване на лостове. Машината е оборудвана със система за регулиране на налягането на въздуха в широкопрофилни гуми с размери 1200x500-508.
На БАЗ-5937 бойният екипаж се състои от пет души, на БАЗ-5939-от двама.
Анализирайки настоящата ситуация, специалистите на завода стигнаха до извода, че земноводните могат да се използват в райони на природни бедствия, например наводнения. Най-подходящ за това се оказа БАЗ-5937.
Машината има доста просторна товарна платформа. В него могат свободно да се настанят линейка, малък автобус или кола с подобен размер. Самоходните превозни средства се изкачват в товарното отделение на земноводните през специални рампи. Освен това е възможно да се транспортират хора и различни товари с тегло до 7,5 т. Партида от такива превозни средства е доставена на естонската спасителна служба.
